作者--玖久教育“数学技巧老师”、湖北黄冈中学数学老师：唐海兵
2012高考数学会出什么题？在考前，我们该做什么准备？今天，我们就以往年的压轴题来为同学们陈述一下，考前最后20天，我们该如何提升我们的数学技能？
说这么多其实是希望高考时处理意外的心态和方法能对大家有些借鉴作用，毕竟大家都知道高考数学气氛还是挺紧张的，任何一个意外都可能产生不可预知的后果，比如遇到不会做的题、或者突然发现自己做错了、陷入了繁杂的计算等等的，这时候该怎么办？
如果是我的话，一般如果前面的题两分钟没思路，果断跳过。突然发现做错的或者陷入复杂计算的，同样跳过，等到做到压轴题最后一问，停下来去做前面跳过去的题（因为压轴题的难度是有目共睹的，即使最后一问不会做，只要前面全作对，好歹也能得个144左右的分），做出来之后再回去专心攻压轴题，能得多少分是多少分。
对于数列选择题，我觉得大概有以下几类吧：
1.给出是“等差”或者“等比”的条件，另外，给出几项的值，让你求一些量。
这种是最基本的考察方式，送分的。
2.给出递归关系式可以是通项的关系也可能是前N项和的关系，让你求通项。
这类一般也不难，主要还是用那些老生常谈的方法，或者也可以尝试下带一些特值进去看能不能筛选出选项
3.数列结合其他知识综合考察，比如加入一些“周期性”的元素，或者和“对数函数”、“指数函数”相结合，也即很可能出现
f(2011)这样的形式，这种算是高要求的考察，一般有难度。
这次押的这道，应该归于第3类，不过难度不大，要理清关系就好。押中机率：30%
另外，给大家说一个“量”（和这个题无关），虽然只是一个字符，但懂的人一看就懂，不懂的去问老师，他应该也一下就懂。
S2n-1即等差数列的前（2n-1）项和。这个项很特殊哦，可以说是“题眼”。
这道题的难度很适合高考，一般高考也就是考这个难度的，所以大家不要担心，一般除了压轴题的最后一问，别的难度不会多大。
提示：等差中项。
数列选择题就押这么多。
很经典的一道题，这题我做了有两三年了，到现在还记得他呢。第一问和第二问考察了数列基本的解题思想，即回归定义，这类题太常见了，以及分类讨论的思想，不要忘记讨论~
第三问，对基础差点的同学来说有难度，但这道题总体过渡很自然，不会让你觉得很突兀，所以基础不错的话应该还是可以做出来大部分的。
OK咱们来讨论下考数列压轴题的话，会以什么样的形式考。
当然有一点可以肯定，前两问一般是用一些常规的方法求通项等等，当然也可能是比较“另类”的内容，比如：
说数列全是整数项，然后给你一个不等式，用一些很简单的数论知识去将不等式转化为等式，从而解出通项，一般都是一个过度，出题人不会为难大家的。
对于压轴题的压轴问：（当然也可能有挺简单的情况，还真有过~不过简单的不押，因为没必要。咱默认难度较大）
1.与函数导数结合着考，当然也会是证明一个不等式，这种难度可能挺简单，但也可能很难，看出题人要控制满分人数在多少了。
2.直接是以数列形式，利用数列的一些“拆项”（难度相对来说最小）、数学归纳法（难度中等）、不等式缩放（难度相对最大）来证明一些不等式。
当然，有很多都是可以用数学归纳法去证明的，但问题是，数学归纳法的“核心一步”，往往也要根据缩放才能得证。
3.我认为属于压轴题里面最难的一类。引入新概念（可能是高等数学、线性代数等等里面的知识）来强行将高考出题范围扩大而提高难度，这类题新概念，甚至可能是新思维、新思路，而且很有可能涉及奥赛的一点点知识，如果是这类题，目标不是状元的话，可以放弃。
下面就重点以前两种情况押题。
08年全国一理科数学卷的压轴题，很经典的一道题，属于第一种与函数结合的情况，有难度，但这题投射出的“逆推”思想要引起大家注意。标准答案给的很生硬，如果不是自己亲自做出来的话，看它的答案会有很多疑惑，比如“你怎么知道要假设那个条件？（这个题做了有三年了，实在忘了是假设的具体哪个条件了）”
实际上，一道好题，必须不能太突兀，要让“会创造思路”（思路是怎么来的？思路是自己创造出来的，不是守株待兔的等待灵感到来。没思路，就自己给自己创造思路！）。
观察题目给出的k的那个条件，为什么会是这样的形式？（这个形式挺复杂对吧？就是因为他的复杂，才表明了出题人对于这个k的形式是凑出来的！所以，从这里可以看出压轴题，大多是出题人先有了最后一问的结果，然后给最后的结果一层层的穿衣服，最终走到最前面的地方，对于这道题来说就是n=1的时候，这时候就需要一个条件来衔接，这个衔接就是k了。）
其实绝大多数压轴题，都是这样产生的。记住，压轴题出题人是先有的结果，然后给他一层层的穿衣服。
他想考的，其实只是最后一问！但是，只考最后一问的话，太突兀，而且绝大多数人做不出来，所以他为了“送一点分出去”只能在穿衣服的过程中的一两步停下来，设置一个问题（按顺序也就是第二问、第一问）。
从这里，我们可以得出以下结论：
1.出题人出压轴题其实是在做题！只不过他的顺序是从后往前（也就是第三问、第二问、第一问）（别说有的题只有两问，但是会有三个过度点）
2.第一问和第二问是出题人在暗示你第三问该如何做，并且给你“送分”不至于让大多数人死的那么惨，否则出题人会死的很惨~
我上面说的这些关于压轴题的一些看法，希望那些目标冲击状元、或者名牌的同学能够认真的读一下，这是我做压轴题时候一直坚守的指导方向。
很多人都惊叹于答案的奇思妙想，会说“谁能想到应该这样做？谁能想到应该构造这样的函数？”其实如果没有暗示，谁都想不到，但是有了暗示，敏锐一点、经验丰富一点，能想到的把握是很大的，但也不是绝对可以做出来，压轴题，从来都是让人兴奋而又心惊肉跳的大BOSS。数学学的再好，也担心万一出题人不想混了，出了个超变态的压轴题该怎么办，这也正是高考数学的魅力所在吧。
回到原题，答案一开始就对b分类讨论了，好像是b<某个值？记不清了大概是这样，为什么呢？
其实，我做所有的证明题，都是从最简单的思路开始，说了，没思路就自己给自己创造思路
要证b<a(k+1)那么a(k+1)等于什么？所以也就转化为证明b<f(a(k))很简单的想法哦但却是所有题的入口点，创造思路的起始点
然后一步步的转化下去（就是和命题人一样，只不过是一层层脱这道题的“衣服”~）
转化到最后你会发现，转化不下去了转化到最后成什么了呢？你发现，其实就是答案一开始假设的那个条件，OK！思路圆满了。
下一道，同样很经典，07年江西数学理科卷压轴题。
属于第二类，可以通过数学归纳法或者缩放来解决，但这道题难度其实不大，尤其是结合数学归纳法。
数列押题到此为止，其实押的话，不是押这整到题，而是押某道题的解题步骤中的很小的一步思路，但很多时候就是这一点思路，决定了压轴题的成败。
其实我心里有很多种可能出现的题目的组合，但很难呈现出来，毕竟这不是视频，没办法用语言和图形表达，也总不能亲自编题，其实我擅长编题，但要在电脑上编辑那些繁杂的数学符号和公式以及图形，实在难以忍受...所以只能选取一些其中某一步很可能考到的题目。
当然，更重要的目的还是想通过一道题来呼吁大家去砸实这道题背后所反映的知识点。
具体的题目的“精”，以及怎么发挥和压榨一道经典题目的最大价值，会在以后的视频里面讲解的很清楚。
不过，我还是要说一下数列压轴题这块大家应该会什么（难度以及要求依次增高）
1：通项公式的求法（不甚解的去看一下以前的教案，或者问老师，这里必考。尤其推荐我押题的第一道数列解答题。）
2.：裂项相消（各种形式的都要会）、迭加、迭乘、错位相减求和（这几个是最基本和简单的数列考察方式，一般会在第二问考）
3：数学归纳法、不等式缩放
基本所有题目都是这几个的组合了，要做到每一类在脑中都至少有一道经典题想对应才行哦。
下面开始导数部分。
也把答案附上了，很简单的，大家应该都会。押这道题呢，其实是为了代表一类题，“一类题”在我看来，就是“原题”，所以高考考的都是“原题”。
哪类题呢？比如说这道题a已知了（但肯定要保证他们不相切的），让你去求两曲线之间的最短距离，大家觉得这算是“原题”么？要是你说不算..别说是黑夜教出来的哈，呵呵，开玩笑了。（大家别笑，这样的题考了很多年了~）
这题大家熟悉么？和上面那道一样都很熟悉了吧。我是09年高考的，这也是09年的高考题，我都没做过，但通篇的那些题（都是09年全国各省高考题），一眼看去，全都太眼熟了。
有些人说高考题多神秘等等的，我觉得这是最有力的反击。高考题“神秘”到了一眼看去全都是“原题”了~
这题也没难度可言，只是见了太多次了，所以拿出来。
这题本身不难，但代表了一种趋势，就是导数、数列相结合的趋势。
开始解答题了哦，先来一道最简单的。貌似北京的大多挺简单的。
这道题意义在什么呢？对于这道题在高考中出现的可能性我不做解释，只能说不大。意义在于，提醒大家四个字，必须必须必须谨记的四个字：
分类讨论！！！！！！！
下面07年山东高考的这道导数题，对分类讨论的考察尤为经典，很具参考性，类似的题目在08、09、10年高考题中见了很多。
这道题我觉得重点在于前两问，最后一问..有点鸡肋了~
这道题，太明显了对吧？看压轴问的形式，想想我之前关于压轴题思路的讲解，看出来么？第三问其实就是直接利用第一问和第二问的结论，很明显的令1/n为x这道题就出来了。
这也证明了我之前对压轴题的评述吧。当然这只是例子之一了，绝大多数压轴题都是这样的。
下面，下面，下面，重点来了。
大家是否眼熟这个不等式呢？lnX<=X--1你可以利用导数去证明这个不等式的正确性，但我想说的是，这个小小的不等式，太有用了。
什么用？将一个对数形式的函数转化为一个X--1这样简单的线性函数，多么漂亮的一个式子！可以说，导数不等式证明中，见到自然对数，我第一个想的就会是这个不等式，看能否利用这个不等式将题目转化为特别容易做的一道题。
这也是一种很重要而且经典的缩放！不信的话大家去看07--10年的全国各地高考题，看看有多少省用到了这个不等式的！
而下面这道我认为导数解答题经典的一道的简单解法，就是用了这个不等式！
再次强调：压轴题中，见到对数函数式的不等式证明，第一个要想的是这个不等式！
还是08年山东理科数学卷的，这张卷子实在太经典了。
这道题很典型。其实也代表了一类题。哪类？
比如说已知某函数有N个根，让你求其中某个参数的范围。（“根”和“切线”和“两个函数有几个交点”差了多少？其实一点不差！因为解题思路是一样的，所以就是“原题”！）我认为，这一类的，都是“原题”。
最后一类，也是最难的一类导数题，需要通过自己观察来构造合适的函数去帮助解题，这题很经典。
导数至此完毕，下面开始最后一部分-------圆锥曲线。
圆锥曲线的考察，很有意思，先说个个人总结的经验。
圆锥曲线的选择题、填空题部分，一般不会有繁杂的计算，而是会考一些巧妙的关系（准线考得很多），也就是解题在巧不在繁。
而解答题（往往是压轴题），往往是不巧但繁（其实做多了也就感觉不繁了，那时候我就挺喜欢做圆锥曲线的），而且考察的“关键点”不多，就我见过的那么多题来看，常考的有五六种吧，往往是从这五六种里面挑一种。
所以，如果这五六种每种都很熟练，把圆锥曲线压轴题做出来（前提是你得有时间吧...）还是有很大希望的。
哪几种呢？大概如下吧：
1.直线L与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的某点，然后...
2.向量AD=6DB然后...（或者求斜率或者证明过定点或者...换那么多说法和问法，其实，他们都是用同一个等式，只不过其中的参数不同~好笑吧？其实高考题就是这样，同一个等式，换不同的问法，咱要做的就是把最核心的这个等式给揪出来，然后炼就一双火眼金睛，那么对你来说，高考全是原题了哦。）
这类题，切记切记！只需要只需要利用其一种坐标！或者x或者y，不会说两个全利用！不然你就陷进去了
3.涉及两条直线，这两条直线都与椭圆有两个未知坐标的交点，而且这两条直线有一定的关系相联系（比如垂直等等的）。这种题呢，其实也很水，纸老虎。
切记，切记，切记！任何任何圆锥曲线压轴题必须必须想方设法的找出一条正确的直线（一条的时候大家都会联立，但多了呢？会迷么？要我说，还真会。即使你经常考140，也很可能在这里犯晕了）去和椭圆联立，而且，也只会联立一条，基本不可能联立两条！
所以，这类问题，就是联立出一条直线后，根据它们斜率的关系，直接把第二条直线的斜率替换进去！
4.偏向于几何的考察。压轴问，比如说什么角平分线等等的，怎么利用其列等式呢？难倒你去将两个角表示出来然后相等？
切记切记！圆锥曲线里面，尽量不要试图去表示某个角，因为你会发现那是相当的复杂。正确的解题方法，肯定是越算越轻松越简单，绝不可能陷入繁杂的计算而不能自拔。
那如何利用？切记，尽量转化为垂直（向量积=0这样就可以利用坐标，也就可以顺理成章的将方程联立，从而列出等式）或者距离、长度的问题，因为圆锥曲线里面，距离和长度是不难表示的。
当然也可能考重心等等的，重心的坐标公式会么？考重心的话，这个必用，因为这个可以和坐标联系起来。
5.点的轨迹（这类题就不押了）
常见的大概也就这几种，懂得人，会被我上面说的那几段话勾起脑中很多的题目原型。不懂的...你懂的，呵呵。
选择题中，见到这样向量的倍数关系的，往往是靠准线这种巧法
但如果是压轴题中，就要利用我上面所说的那种了。（来源：玖久高考研究中心）