高中数学对称问题分类探析

谭玉石
　　
　　对称问题是高中数学的重要内容之一，在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵活的对称问题，为使对称问题的知识系统化，本文特作以下归纳。
　　
　　一、点关于已知点或已知直线对称点问题
　　
　　1、设点P(x，y)关于点（a,b）对称点为P′(x′，y′)，
　　
　　x′=2a-x
　　
　　由中点坐标公式可得：y′=2b-y
　　
　　2、点P(x，y)关于直线L：Ax+By+C=O的对称点为
　　
　　x′=x-（Ax+By+C）
　　
　　P′(x′，y′)则
　　
　　y′=y-（AX+BY+C）
　　
　　事实上：PP′⊥L及PP′的中点在直线L上，可得:Ax′+By′=-Ax-By-2C
　　
　　解此方程组可得结论。
　　
　　（-）=-1(B≠0)
　　
　　特别地，点P(x，y)关于
　　
　　1、x轴和y轴的对称点分别为(x，-y)和(-x，y)
　　
　　2、直线x=a和y=a的对标点分别为(2a-x，y)和(x，2a-y)
　　
　　3、直线y=x和y=-x的对称点分别为(y，x)和(-y，-x)
　　
　　例1光线从A(3,4)发出后经过直线x-2y=0反射,再经过y轴反射,反射光线经过点B(1,5),求射入y轴后的反射线所在的直线方程。
　　
　　解：如图,由公式可求得A关于直线x-2y=0的对称点
　　
　　A′(5,0),B关于y轴对称点B′为(-1,5),直线A′B′的方程为5x+6y-25=0
　　
　　｀C(0,)
　　
　　｀直线BC的方程为：5x-6y+25=0
　　
　　二、曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题
　　
　　求已知曲线F(x，y)=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时，只须将曲线F(x，y)=O上任意一点(x，y)关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程F(x，y)=0中相应的作称即得，由此我们得出以下结论。
　　
　　1、曲线F(x，y)=0关于点(a,b)的对称曲线的方程是F(2a-x，2b-y)=0
　　
　　2、曲线F(x，y)=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F(x-(Ax+By+C)，y-(Ax+By+C))=0
　　
　　特别地，曲线F(x，y)=0关于
　　
　　（1）x轴和y轴对称的曲线方程分别是F（x，-y）和F（-x，y）=0
　　
　　（2）关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F(2a-x，y)=0和F(x，2a-y)=0
　　
　　（3）关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是F(y，x)=0和F(-y，-x)=0
　　
　　除此以外还有以下两个结论：对函数y=f(x)的图象而言，去掉y轴左边图象，保留y轴右边的图象，并作关于y轴的对称图象得到y=f(|x|)的图象；保留x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上去得到y=|f(x)|的图象。
　　
　　例2（全国高考试题）设曲线C的方程是y=x3-x。将C沿x轴y轴正向分别平行移动t，s单位长度后得曲线C1：
　　
　　1）写出曲线C1的方程
　　
　　2）证明曲线C与C1关于点A(,)对称。
　　
　　(1)解知C1的方程为y=(x-t)3-(x-t)+s
　　
　　(2)证明在曲线C上任取一点B（a,b），设B1(a1,b1)是B关于A的对称点，由a=t-a1，b=s-b1，代入C的方程得：
　　
　　s-b1=(t-a1)3-(t-a1)
　　
　　｀b1=(a1-t)3-(a1-t)+s
　　
　　｀B1(a1,b1)满足C1的方程
　　
　　｀B1在曲线C1上，反之易证在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上
　　
　　｀曲线C和C1关于a对称
　　
　　我们用前面的结论来证：点P(x,y)关于A的对称点为P1(t-x,s-y)，为了求得C关于A的对称曲线我们将其坐标代入C的方程，得：s-y=(t-x)3-(t-x)
　　
　　｀y=(x-t)3-(x-t)+s
　　
　　此即为C1的方程，｀C关于A的对称曲线即为C1。